فصل چهارم تعیین موقعیت و امتدادهای مبنا

Transcript

1 فصل چهارم تعیین موقعیت و امتدادهای مبنا

2 هدف های رفتاری پس از آموزش و مطالعه این فصل از فراگیرنده انتظار می رود بتواند: 1 راهکار کلی مربوط به ترسیم یک امتداد در یک سیستم مختصات دو بعدی و اندازه گیری ژیزمان و زاویه حامل آن با استفاده از نقاله را شرح دهد. 2 محاسبات مربوط به یک طول و ژیزمان امتداد در یک سیستم مختصات دو بعدی را انجام دهد. 3 بحث و بررسی مربوط به ترسیم یک امتداد در یک سیستم مختصات دو بعدی و اندازه گیری ژیزمان و زاویه حامل آن با استفاده از نقاله را شرح دهد. 4 راهکار کلی مربوط به تعیین ربع مختصاتی زاویه حامل و ژیزمان یک امتداد را با معلوم بودن مختصات دو نقطه روی این امتداد شرح دهد. 5 محاسبات مربوط به تعیین ربع مختصاتی زاویه حامل و ژیزمان یک امتداد را با معلوم بودن مختصات دو نقطه روی این امتداد انجام دهد. 6 بحث و بررسی مربوط به تعیین ربع مختصاتی زاویه حامل و ژیزمان یک امتداد را با معلوم بودن مختصات دو نقطه روی این امتداد شرح دهد. 7 راهکار کلی مربوط به محاسبه و انتقال ژیزمان اضالع یک چند ضلعی را با داشتن ژیزمان امتداد اول شرح دهد. 8 محاسبات مربوط به انتقال ژیزمان اضالع یک چند ضلعی را با داشتن ژیزمان امتداد اول انجام دهد. 9 بحث و بررسی مربوط به محاسبه و انتقال ژیزمان اضالع یک چند ضلعی را با داشتن ژیزمان امتداد اول شرح دهد. مطالب پیش نیاز قبل از مطالعه این فصل از فراگیرنده انتظار می رود با مطالب زیر آشنا باشد: 1 آشنایی با فصل چهارم کتاب»نقشه برداری عمومی«2 آشنایی با فصل پنجم کتاب»هندسه«3 آشنایی با دایره مثلثاتی و ربع های آن در کتاب»ریاضی 2 و 3 «

3 مروری بر فصل چهارم کتاب»نقشه برداری عمومی«از نظر ریاضی هر تابع فرمول و مدل ریاضی در یک فضای مناسب تعریف می شود که به آن سطح مبنای محاسبات ریاضی )دیتوم( می گویند. برای زمین سطوح مبنای مختلفی تعریف شده است. از جمله سطوح مبنایی زمین و مهمترین آن ها می توان به سطح مستوی )سطح افقی و صاف( سطح ژئویید و سطح بیضوی اشاره کرد که سطح مستوی و سطح بیضوی را سطح مبنای مسطحاتی و ژئویید را سطح مبنای ارتفاعی در نظر گرفته اند. منظور از تعیین موقعیت در نقشه برداری عبارت است از مشخص کردن مختصات نقاط در یک سیستم مختصات معلوم ام ا قبل از تعیین مختصات یک نقطه ابتدا باید یک سیستم مختصات تعریف کنیم. به عبارت دیگر اعتبار مختصات یک نقطه از وجود سیستم مختصات آن است. برای تعریف یک سیستم مختصات الزم است که به سؤاالتی از این قبیل پاسخ داده شود: مبدأ سیستم کجاست محورهای سیستم نسبت به هم چگونه اند محورهای سیستم مستقیم الخط هستند و یا منحنی الخط پارامترهای تعیین موقعیت هر نقطه در این سیستم کدامند سیستم مختصات راست گرد است و یا چپ گرد منظور از نقاط کنترل در نقشه برداری نقاطی است که مختصات مسطحاتی و یا ارتفاعی آن ها و یا مختصات سه بعدی )مسطحاتی و ارتفاعی( آن ها نسبت به یک سیستم مختصات مشخص دقیقا معلوم باشد. به مجموعه ای از این نقاط که تشکیل خطوط و زوایایی را می دهند شبکه نقاط کنترل می گویند. شبکه نقاط کنترل در واقع اسکلت اصلی یک پروژه نقشه برداری می باشد. چنانچه در یک شبکه فقط x وy نقاط تعیین شده باشد به آن شبکه کنترل افقی و یا شبک ه کنترل دو بعدی می گویند. اگر فقط ارتفاع نقاط تعیین شده باشد به آن شبکه کنترل ارتفاعی یا شبکه ترازیابی و باال خره اگر طول عرض و ارتفاع )z,x(,y هر سه معلوم شده باشد به آن شبکه سه بعدی می گویند. از انواع امتدادهای مبنا در نقشه برداری می توان شمال حقیقی شمال مغناطیسی و شمال شبکه را نام برد. ژیزمان عبارت است از زاویه ای که هر امتداد با امتداد شمال شبکه و در جهت عقربه ساعت می سازد و آن را با G نمایش می دهند. 57

4 در تعریف ژیزمان سه نکته اساسی را باید در نظر گرفت: ژیزمان یک زاویه افقی بین یک امتداد مبنا و امتداد مورد نظر است. مبدأ اندازهگیری )امتداد مبنا( ژیزمان همواره شمال شبکه )محورY نقشه( است. ژیزمان در جهت حرکت عقربههای ساعت اندازهگیری میشود. G( ژیزمان معکوس آنرا در صورتیکه ژیزمان امتدادی چون معلوم فرض شود) G (نشان میدهیم که مقدار آن از رابطه زیر قابل محاسبه بهصورت ژیزمان خوانده و به شکل) است: G G ± 180 G G کوچکتر از 180 باشد از عالمت و در صورتیکه که در این رابطه چنانچه مساوی و یا بزرگتر از 180 باشد از عالمت استفاده میشود. به کوچکترین زاویهای که هر امتداد با محور Yها میسازد زاویه حامل آن امتداد میگویند که با V نمایش داده میشود. برای محاسبه زاویه حامل از رابطه زیر استفاده میشود: V = tan 1 X Y ژیزمان هر امتداد را از روی مختصات دو نقطه از آن امتداد می توان محاسبه کرد.البته ابتدا زاویه حامل امتداد را مشخص کرده و سپس با توجه به اینکه امتداد در کدام ربع مختصات قرار دارد ژیزمان را به دست می آوریم. جدول زیر ارتباط بین ژیزمان و زاویه حامل را در چهار ربع مختصاتی نشان می دهد: ربع مختصات ربع اول ربع دوم ربع سوم ربع چهارم رابطۀ ژیزمان و زاویۀ حامل G = V G = 18 - V G = 18 + V G = 36 - V 58

5 برای انتقال ژیزمان و به عبارتی برای محاسبه ژیزمان یک امتداد از روی ژیزمان امتداد قبل مطابق شکل زیر کافی است که ابتدا زاویه انحراف را محاسبه کرده و سپس از رابطه زیر مقدار ژیزمان امتداد را مشخص کرد. معلوم G G = G G = G (180 α ) = G +α 180 (200grad) α یا 180 = N G N G α 59

6 مثال 4 1 : ترسیم یک امتداد در یک سیستم مختصات دکارتی دوبعدی و اندازه گیری ژیزمان و زاویۀ حامل آن با استفاده از نقاله مختصات دو نقطه ) )1000,1000 و) )1050,1070 معلوم می باشند مطلوب است ترسیم امتداد در یک سیستم مختصات دکارتی)قائم الزاویه( با مقیاس 1000 :1 راهکار کلی: 1 محاسبۀ ابعاد مناسب کاغذ برای ترسیم: برای ترسیم امتداد در یک سیستم دکارتی ابتدا ابعاد کاغذ مناسب برای ترسیم را مشخص کنید. برای این کار می توانید طول امتداد را از روی مختصات آن پیدا کرده و سپس این طول را در مقیاس خواسته شده ضرب کنید. با این کار معلوم می شود که امتداد در روی کاغذ چند سانتی متر است حال با توجه به این مقدار می توانید کاغذ مناسب را انتخاب کنید. 2 2 = + L (X X ) (Y Y ) مقیاس * L طول امتداد روی کاغذ 2 تعیین مبدأ مختصات: اکنون محورهای مختصات X و Y را با استفاده از خطکش و گونیا به صورت کامال عمود بر هم ترسیم کرده و سپس با توجه به مختصات نقاط و کوچکترین مختصات X وY را مشخص کرده و سپس مبدأ مختصات را عددی رند و کوچکتر از آنها در نظر بگیرید. 3 تعیین محل دقیق نقاط در سیستم و ترسیم امتداد: حال با استفاده از اشل )خطکش مقیاس( مختصاتهای X و Y هر کدام از نقاط را با توجه به مبدأیی که انتخاب کردید روی محورهای مختصات پیدا کرده و در نهایت با استفاده از گونیا محل نقاط را در سیستم مشخص کنید و سپس این دو نقطه را به هم وصل کنید. 60

7 4 برای اندازه گیری زاویه حامل و ژیزمان از نقاله استفاده کنید. برای این کار از نقطه موازی محور Y خطی ترسیم نمایید. حال با توج ه به تعریف ژیزمان و زاویه حامل به راحتی می توان زوایای مربوطه را با نقاله اندازه گیری کنید. روش حل: = + + L (X X ) (Y Y ) ( ) ( ) L m 8602cm 1 L * = 8602 مقیاس 8.602cm 9cm 1000 بحث و بررسی: بنابراین طول خط روی کاغذ تقریبا برابر 9 سانتیمتر است. حال میتوان کاغذی در نظرگرفت که این امتداد به راحتی در آن ترسیم گردد. برای این مثال میتوان کاغذ 4 را در نظر گرفت.پس از ترسیم محورهای مختصات نوبت به تعیین مبدأ سیستم میرسد. مختصات X دو نقطه را در نظر بگیرید. همانطور که میبینید مختصات X نقطه از مختصات X نقطه کمتر است. همچنین مختصات Y نیز برای نقطه کمتر از مختصات Y نقطه است. پس مبدأ مختصات را با توجه به آنچه که گفته شد به صورت عددی رند و کوچکتر از مختصاتهای گفته شده در نظر بگیرید به طوریکه تمام طول خط را بتوان در کاغذ ترسیم نمود. به عنوان مثال در اینجا میتوان مختصات مبدأ را )950,950( در نظر گرفت. تمرین کالسی مثال مختصات دو نقطه )854,1432(F و) E)980,1205 معلوم می باشند مطلوب است ترسیم امتداد EF در یک سیستم مختصات دکارتی)قائم الزاویه( با مقیاس 1:750 61

8 مثال 4 2 : تعیین ربع مختصاتی یک امتداد و زاویۀ حامل و ژیزمان یک امتداد با معلوم بودن مختصات دو نقطه روی امتداد مختصات دو نقطه )1000,1000( و) )1050,1070 معلوم می باشند مطلوب است: الف( تعیین کنید امتداد در کدام ربع مختصاتی قرار دارد. ب( زاویه حامل امتداد را محاسبه کنید. ج( ژیزمان امتداد را محاسبه کنید. راهکار کلی: منظور از تعیین ربع مختصاتی یک امتداد یعنی این که این مختصات در کدام ربع قرار دارد. بنابراین کافی است که ابتدا X و Y امتداد را به دست آورید و با توجه به عالمت آن ها و جدول زیر ربع مختصاتی را مشخص کنید. عالمت Y + + عالمت X + + ربع مختصات اول دوم سوم چهارم زاویه حامل را از رابطه زیر بدست آورید: V = tan 1 X Y و در پایان با توجه به ربعی که امتداد در آن قرار دارد و هم چنین زاویه حامل که از رابطه باال آن را محاسبه کردید می توانید مقدار ژیزمان را به دست آورید. با توجه به جدول و شکل صفحه بعد داریم: 62

9 x x y V y y V y ربع اول )I( ربع دوم )II( ربع چهارم )IV( ربع سوم )III( x 0 V y y V x y روش حل: X = X X = =+ 50m Y = Y Y = =+ 70m ربع اول 50 V = t g = G V G بحث و بررسی: ژیزمان و زاویه حامل محاسبه شده در این مثال را با مقادیری که با نقاله در مثال قبل اندازه گیری کردید مقایسه کنید. آیا اختالفی مشاهده می کنید

10 تمرین های کالسی مثال دو نقطه کنترل )1250/23 و 1520/20( و) 452/12 و 852/32( را در نظر بگیرید. مطلوب است: الف( تعیین ربع مختصاتی امتداد. ب( محاسبه زاویه حامل امتداد. ج( محاسبه ژیزمان امتداد. 2 سه نقطه کنترل )100,100( و )150,200( و )300,100( تشکیل یک مثلث می دهند. مطلوب است: الف( ترسیم این مثلث در یک سیستم مختصات دوبعدی قائم الزاویه به مقیاس 1/2000 ب( محاسبه ژیزمان اضالع و و ج( محاسبه زوایای داخلی مثلث و کنترل محاسبات. 3 در شکل زیر زاویه α چند درجه است N(140, 120) M(100, 100) P(190, 110) 64

11 مثال 4 3 : انتقال ژیزمان مطابق شکل زیر ژیزمان امتداد و همچنین زوایای رئوس و معلوم است. ژیزمان امتدادهای وD را بدست آورید راهکار کلی: همانطور که در کتاب نقشه برداری عمومی خواندید برای انتقال ژیزمان و محاسبه ژیزمان ضلع بعدی باید مقدار زاویه انحراف را ابتدا محاسبه کرده و جهت آن را تعیین کنید دیدید که زمانی که زاویه انحراف ساعت گرد بود آن را مثبت در نظر گرفته و با ژیزمان ضلع قبل که معلوم است جمع می کنیم و در حالتی که زاویه انحراف خالف حرکت ساعت باشد آن را منفی در نظر گرفته و از ژیزمان ضلع قبل کم می کنیم تا ژیزمان ضلع بعد محاسبه گردد. G G 1 1 G D G 2 2 زوایای انحراف 1 و 2 به راحتی از روی زوایای رئوس و محاسبه می شوند. روش حل: G G D

12 تمرین های کالسی مثال ژیزمان امتداد برابر 245/2530 گراد و زاویه رئوس و راست گرد و به ترتیب برابر 245/2452 و 110/7885 گراد اندازه گیری شده اند. مطلوب است ترسیم کروکی این مثال و محاسبه ژیزمان امتداد و.D )راهنمایی: منظور از زاویه راست گرد یعنی هنگامی که دوربین در نقطه مستقر است به نقط ه صفر صفر کند. زاویه و زاویه به صورت ساعتگرد اندازه گیری شده اند.( 2 با توجه به شکل زیر ژیزمان کلیه امتدادها را مشخص کنید. (100, 100) (325, 55) D E در پیمایش بسته D اطالعات به دست آمده در جدول خالصه شده است. زاویه حامل و طول D و ژیزمان کلیه امتدادها را محاسبه نمایید. ژیزمان زاویه حامل فاصله امتداد 751 N 1 1 W? 392 N E? D 561 S 1 5 E? D??? 66

13 4 ژیزمان امتداد EF مساوی 55/22 و ژیزمان امتداد FG مساوی 150 گراد است. زاویه بین این دو امتداد چند گراد است F E G 5 با توجه به مختصات های داده شده زاویه را محاسبه کرده و شکل مربوطه را با مقیاس ترسیم نمایید در شکل زیر اگر: ) 100 و 50 ( ) 180 و 120 ( و ) 250 و 70 ( بر حسب متر باشند جهت پیاده کردن نقطه مطلوب است محاسبه مقدار زاویه α. α 67

14 N 7 مطلوب است مقدار زاویه α به گراد α N نشان دهید که می توان ژیزمان را در حالت کلی از رابطه زیر به دست آورد. G n G n 1 ± α n ± 180 زاویه رأس است. α n )راهنمایی: از روش استفاده شده و مقادیر جای گذاری شود.( 68

15 فصل پنجم تعیین مختصات ایستگاهی

16 هدف های رفتاری پس از آموزش و مطالعه این فصل از فراگیرنده انتظار می رود بتواند: 1 راهکار کلی مربوط به مراحل محاسبه یک پیمایش باز را شرح دهد. 2 مراحل محاسبات مربوط به یک پیمایش باز را به درستی انجام دهد. 3 بحث و بررسی مربوط به مراحل محاسبه یک پیمایش باز را شرح دهد. 4 راهکار کلی مربوط به مراحل محاسبه یک پیمایش بسته را شرح دهد. 5 مراحل محاسبات مربوط به یک پیمایش بسته را به درستی انجام دهد. 6 بحث و بررسی مربوط به مراحل محاسبه یک پیمایش بسته را شرح دهد. مطالب پیش نیاز قبل از مطالعه این فصل از فراگیرنده انتظار می رود با مطالب زیر آشنا باشد: 1 آشنایی با فصل چهارم کتاب»نقشه برداری عمومی«2 آشنایی با فصل پنجم کتاب»نقشه برداری عمومی«

17 مروری بر فصل پنجم کتاب»نقشه برداری عمومی«پیمایش: مجموعه عملیاتی که برای تعیین موقعیت مسطحاتی یک سری نقاط دنبال هم )نقاط ایستگاهی( در یک منطقه از زمین انجام می گیرد پیمایش گفته می شود. در پیمایش برای اینکه بتوان ابتدا سیستم مختصات دو بعدی مورد نظر را مشخص نمود به حداقل دو نقطه با مختصات معلوم )یک نقطه با مختصات معلوم و یک امتداد معلوم( در آن سیستم مختصات نیاز می باشد. پیمایش معموال به دو حالت باز و بسته تقسیم بندی می شود. پیمایش باز: اگر پیمایش از یک نقطه با مختصات معلوم و یا مفروض شروع و به نقطه ای با مختصات مجهول )نامعلوم( پایان یابد به آن پیمایش باز می گویند. پیمایش بسته traverse( :)losed در دو حالت زیر پیمایش را بسته می گویند: 1 پیمایش از یک نقطه با مختصات معلوم )مفروض( شروع شود و به همان نقطه ختم گردد. به چند ضلعی بسته که در این حالت ایجاد می شود پلیگون )Polygon( می گویند. 2 پیمایش از یک نقطه با مختصات معلوم شروع شود و به نقطه دیگری با مختصات معلوم برسد. به این حالت پیمایش اتصالی traverse( )Link می گویند. از پیمایش بسته )پلیگون( معموال در مناطقی که طول و عرض منطقه تقریبا مساوی است استفاده می شود. همچنین در مناطقی که نقاط با مختصات معلوم در دسترس نیست می توان با فرضی گرفتن مختصات نقطه اول از این نوع پیمایش استفاده کرد. البته این حالت فقط برای نقشه برداری مناطق کوچک کاربرد دارد. مراحل کلی پیمایش عبارتند از: الف( شناسایی ب( اندازه گیری ها و مشاهدات پیمایش ج( محاسبات الف( شناسایی: در این مرحله گروه شناسایی با مراجعه مستقیم به محلی که قرار است پیمایش انجام شود منطقه را شناسایی کرده و در نهایت از موقعیت نقاط موجود یک کروکی تهیه می کنند. ب( اندازه گیری ها ومشاهدات پیمایش: پس از ایجاد و استحکام نقاط پیمایش گروه نقشه بردار به محل مراجعه کرده و با توجه به کروکی و نام نقاط طول افقی همه اضالع و همچنین زاویه افقی همه رئوس پیمایش و ژیزمان یکی از اضالع موردنظر )که معموال ضلع اول می باشد( نیز اندازه گیری می شود. 71

18 72 مروری بر فصل پنجم کتاب»نقشه برداری عمومی«زاویههایی که در پیمایش اندازهگیری میشوند معموال زاویه به راست angle( )lockwise هستند. زاویه به راست در محاسبات پیمایش همواره مثبت در نظر گرفته میشود. منظور از زاویه به راست زاویهای است که یک امتداد نسبت به امتداد قبل و در جهت عقربه ساعت )جهت راست( میسازد. ج( محاسبات پیمایش: برای شروع محاسبات الزم است مختصات یکی از ایستگاههای پیمایش )معموال نقطه اول( و همچنین ژیزمان یکی از اضالع پیمایش )معموال ضلع اول( معلوم باشد. محاسبه مختصات در پیمایش باز را میتوان در سه مرحله خالصه کرد: 1 محاسبه ژیزمان کلیه اضالع پیمایش با استفاده از ژیزمان ضلع اول و زاویه به راست رئوس پیمایش. 2 محاسبه X وY کلیه اضالع پیمایش. 3 محاسبه مختصات نقاط ایستگاههای پیمایش. ژیزمان یک امتداد را میتوان از رابطه زیر بهدست آورد: ( ± 180 زاویه به راست رأس G )G امتداد قبلی امتداد بعدی با استفاده از رابطه زیر می توان X وY کلیه امتدادها را محاسبه کرد: Xi = Li SinGi Yi = Li osgi پس از محاسبه X وY ها با استفاده از روابط کلی زیر مختصات نقاط رئوس پیمایش را محاسبه می کنیم.به عنوان مثال برای نقطه داریم: X X X Y Y Y در محاسبه ژیزمان اضالع در پیمایش باز از روی جهت حرکت پیمایش و همچنین جهت محاسبات میتوان زاویه بهراست را تعیین کرد. مجموع زوایای یک چند ضلعی در فضای ایدهآل و بدون خطای ریاضی از رابطه زیر بهدست میآید: جمع زوایای داخلی * 180 2) (n جمع زوایای خارجی * 180 2) (n

19 مروری بر فصل پنجم کتاب»نقشهبرداریعمومی«مقدار خطای بست زاویهای در یک پیمایش بسته از رابطه زیر محاسبه میشود: e α Σα i (n ±2) * 180 مقدار مجاز خطای بست زاویهای در یک پیمایش بسته از رابطه زیر محاسبه میشود: e =± 2.5 d max α n m مقدار تصحیح برای زوایا از رابطه زیر بدست می آید: e = n α پس از تصحیح زوایا با معلوم بودن ژیزمان امتداد اول سایر ژیزمان ها را محاسبه می کنیم. طول های اندازه گیری شده در پیمایش مانند زوایای اندازه گیری شده دارای مقادیری خطا می باشند که در محاسبه X وY خطایی ایجاد می کنند که به آن خطای بست موضعی )خطای بست طولی( می گویند. خطای بست موضعی)خطای بست طولی( از رابطه زیر محاسبه می شود: می آید: خطای نسبی بست )دقت پیمایش( از رابطه زیر محاسبه می شود: 2 2 X,Y = Σ i + Σ i e ( X Y ) e s e = Σ L X,Y i تعدیل برای هر ضلع در دو جهت X وY اعمال می شود و مقدارآن از رابطه زیر به دست x Li = Σ X Σ L L Σ L i Y = Σ Y که با مقادیر X و Y جمع شده و مقادیرتعدیل شده آنها به دست می آیند: X تصحیح شده = X تصحیح نشده X Y تصحیح شده = Y تصحیح نشده Y و در پایان X و Y را به راحتی می توان از روی این مقادیر بدست آورد. 73

20 مثال 5 1 : پیمایش باز مطابق شکل زیر به منظور ایجاد تعدادی نقطه کنترل یک پیمایش باز انجام شده است. مختصات G میباشد. مطلوب است محاسبه مختصات نقاط مجهول نقطه برابر 100( )100, و 140 در این پیمایش. 135m m 240 D 185m D 100 DE 150m راهکار کلی: برای راحتی کار و جلوگیری از اشتباه در محاسبات ابتدا معلومات مسئله را در جدولی مطابق زیر وارد میکنیم: طول ژیزمان زاویه ایستگاه X Y X Y D E مرحلۀ اول: مرحله اول محاسبه ژیزمان کلیه اضالع پیمایش می باشد. یعنی ابتدا ستون سوم از جدول باال را تکمیل می کنیم. در فصل پیش با روش محاسبه ژیزمان یک امتداد از روی امتداد قبلی آن آشنا شدید. همانطور که گفته شد با معلوم بودن ژیزمان امتداد قبلی و زاویه به راست رئوس ژیزمان امتداد بعدی را می توان از رابطه صفحه بعد محاسبه کرد:

21 به عبارتی می توان نوشت: ( ± 180 زاویه به راست رأس G )G امتداد قبلی امتداد بعدی G (G α ) ± 180 G D (G α ) ± 180 G DE (G D α D ) ± 180 α D در روابط فوق همان زاویه به راست در رأس های و وD می باشند α و α و زوایای که در رابطه ژیزمان همواره مثبت در نظر گرفته می شوند. مرحلۀ دوم: در این مرحله X وY کلیه اضالع پیمایش محاسبه می شود به عبارتی ستون های پنجم و ششم در این مرحله تکمیل می شوند. برای محاسبه X وY می توان یک رابطه کلی به دست آورد. به شکل زیر دقت کنید: فرض کنید یکی از اضالع پیمایش باشد مطابق شکل مثلث H یک مثلث قائم الزاویه است بنابراین داریم: H sing = H = sing H cosg = H = cosg Y می باشد. X و H همان ام ا همانطور که در شکل مشاهده می کنید H همان پس می توان نوشت: X * sing Y * cosg 75

22 این روابط کلی هستند بنابراین برای سایر اضالع نیز می توان این روابط را نوشت: X * sing Y * cosg X D D * sing D Y D D * cosg D X DE DE * sing DE Y DE DE * cosg DE مرحلۀ سوم: در این مرحله به راحتی میتوان مختصات نقاط مجهول را با استفاده از روابط بدیهی زیر بدست آورد: X X X Y Y Y X X X Y Y Y X D X X D Y D Y Y D X E X D X DE X E X D X DE 76

23 G ( ) روش حل: مرحلۀ اول: محاسبۀ ژیزمان اضالع G D ( ) G DE ( ) طول( m ) ژیزمان زاویه ایستگاه D E X 135 * sin Y 135 * cos X 125 * sin Y 125 * cos X(m) Y(m) X(m) Y(m) مرحلۀ دوم: محاسبه X وY اضالع X D 185 * sin Y D 185 * cos X DE 150 * sin Y DE 150 * cos طول( m ) ژیزمان زاویه ایستگاه X(m) Y(m) X(m) Y(m) D E

24 X = Y 100 ( ) = X = Y = مرحلۀ سوم : محاسبۀ مختصات نقاط X D = Y D ( ) = X E = طول( m ) ژیزمان زاویه ایستگاه X(m) Y E = Y(m) X(m) Y(m) D E بحث و بررسی: در محاسبه ژیزمان اضالع برای پیمایش باز همانند حالتی که در پیمایش بسته گفته شد از روی جهت حرکت پیمایش و همچنین جهت محاسبات میتوان زاویه به راست را تعیین کرد. در این مثال حرکت از چپ به راست است بنابراین زوایای باالیی زاویه بهراست هستند که در محاسبات ژیزمان هم با عالمت مثبت قرار داده میشوند. زوایای مشاهده شده درشکل زاویه به راست هستند. اما چنانچه جهت پیمایش و محاسبات از راست به چپ باشد در این حالت زوایای پایینی زاویه به راست هستند و در رابطه ژیزمان باید با عالمت مثبت قرارداده شوند. زوایای مشاهده شده درشکل زاویه به راست هستند. 78

25 تمرین های كالسی مثال اطالعات طول و زاویه مربوط به یک پیمایش باز مطابق جدول زیر مشاهده شده است مختصات نقاط مجهول را محاسبه کنید.)همه زوایا در حالت زاویه به راست هستند.) 150( 120,, ) G = m = m D = m DE = m = = D = یک عملیات پیمایش باز مطابق شکل زیر انجام گرفته. هرگاه مختصات ایستگاه شروع S 1 متر باشد مطلوب است: ) 1500 و 1500( الف( تنظیم جدول پیمایش باز S 5 )زوایا بر حسب گراد و طولها بر حسب S 4 و S 3 و S 2 و ب ) محاسبه مختصات ایستگاههای متر هستند.( 11 /355 gr 287/ 695 gr 90/45 m 135/3785 gr 85/15 m 130/75 m 155/4965 gr 115/43 m 3 در پیمایشی که مطابق شکل روبرو صورت گرفته است مختصات 1000( )1000 و مختصات 950( )1150 می باشد. مختصات نقاط و D را به دست آورید. 79 α α L L D 179 m 210 m

26 S 2 مختصات نقاط مجهول S 1 و 4 در پیمایش باز شکل زیر با توجه به مختصات معلوم نقاط P 4 را بر حسب متر محاسبه کنید. P 3 و P 2 و P 1 و S 1 (1000, 1000) S 2 (2000, 2000) S P P P L P3 P L S2 P L S2 P L P2 P در پیمایش باز زیر مختصات نقاط و به ترتیب برابر (100,100) و (250,250) متر می باشد با توجه به زاویه های مشخص شده در کروکی زیر مختصات سایر نقاط را محاسبه کنید. 350g, 66/149g, D 233/851g L 150m, L D 197/23m, L DE 110m g g 110 m 150m g m D E 80

27 مثال 5 2 : پیمایش بسته مطابق شکل زیر یک عمل پیمایش بسته انجام گرفته است. با فرض اینکه مختصات نقطه برابر )E, D,, باشد مختصات نقاط دیگر) G و و )X 100/000 Y 908/980( را محاسبه کنید. دقت زاویه ای دوربین را 10 ثانیه درنظر بگیرید. زاویه = طول = = = D = = DE = D = E = E = E D راهکار کلی: الف( مرحله تعدیل و سرشکنی خطای بست زاویه ای: مجموع زوایای یک چند ضلعی در فضای ایده آل و بدون خطای ریاضی از رابطه زیر به دست می آید: * 180 2) (n جمع زوایای داخلی * 180 2) (n جمع زوایای خارجی که در آن n تعداد اضالع چند ضلعی است. بنابراین برای هر پیمایش چند ضلعی میتوان این مقدار را معیاری برای درستی زوایای اندازهگیری شده در نظر گرفت. به عبارتی با مقایسه این مقدار با جمع زوایای مشاهده شده میتوان خطای بست زاویهای را بهدست آورد بنابراین: خطای بست زاویه ای: 180 * ±2) (n e α = Σα i - Σα i مجموع زوایای پلیگون مجموع زوایای پلیگون بدون خطا 180 * (±2 n) 81

28 نکته: از رابطه 180 )2 n( زمانی که زاویه پلیگون زاویه خارجی است استفاده می شود. از رابطه 180 ) 2 n( زمانی که زاویه پلیگون زاویه داخلی است استفاده می شود. بعد از محاسبه خطای بست زاویه ای باید مقدار آن را مورد ارزیابی قرار داده و با مقدار مجاز آن مقایسه کنید. در صورتی می توان این خطا را پذیرفت که مقدار آن کوچکتر و یا مساوی مقدار مجاز باشد. مقدار مجاز خطای بست زاویه ای از رابطه زیر بدست می آید: e 2.5 d max α n m مقدار مجاز خطای بست زاویه ای ±= دقت زاویه ای دوربین d α تعداد اضالع چند ضلعی n دفعات قرائت زاویه هر رأس m درصورتی که خطای بست زاویه ای قابل قبول باشد باید آن را بین زوایای پلیگون سرشکن کرده و زوایای تعدیل شده را به دست آورد. برای به دست آوردن مقدار تصحیح برای هر زاویه کافی است خطای بست را بر تعداد زوایای موجود با عالمت مخالف تقسیم کنیم. سپس این مقدار تصحیح را با مقدار هر زاویه جمع می کنیم. به عبارتی با این کار به هر رأس سهم مساوی از تصحیح را اعمال می کنیم. بنابراین مقدار تصحیح برای زوایا از رابطه زیر به دست می آید: e n α مقدار تصحیح برای زوایا = خطای بست زاویه ای e α تعداد زوایا n α i α i () در نتیجه برای هر زاویه خواهیم داشت: روش حل: 82

29 Σα i Σα i الف( مرحلۀ تعدیل و سرشکنی خطای بست زاویه ای: e α (5-2) * 180 = e =± ± 56 e < e max + 30 = = α MX حاال مقدار تصحیح را با تک تک زوایا جمع می کنیم تا زوایای تعدیل شده محاسبه شود. جهت کنترل بعد از اعمال مقدار تصحیح به زوایا یک بار دیگر آنها را جمع می کنیم. درصورتی که مقدار حاصل جمع زوایای جدید با مقدار واقعی آن برابر بود این اعداد را به عنوان مقدار درست برای هر زاویه درنظر می گیریم (-6 ) = (-6 ) = (-6 ) = (-6 ) = (-6 ) = Σα i از این پس اطالعات موجود را در جدولی مطابق زیر وارد کرده و محاسبات را ادامه میدهیم. )در ادامه حل مسأله جابهجاییهایی در سرستونها دیده میشود که هر دوشکل ارائه شده صحیح میباشد.( طول ژیزمان زاویۀ تعدیل شده نقاط ایستگاه X x X Y Y Y X Y D E 83 ب( مرحلۀ محاسبه X و Y کلیه اضالع:

30 راهکار کلی: برای محاسبه X وY اضالع پیمایش ابتدا باید ژیزمان کلیه اضالع را از روی ژیزمان معلوم ضلع اول و زوایای تعدیل شده در مرحله قبل محاسبه کنیم.روش محاسبه ژیزمان اضالع را در فصل 4 کتاب»نقشهبرداری عمومی«آموختید. همانطور که گفته شد ژیزمان اضالع را از رابطه زیر میتوان محاسبه کرد: ( ± 180 زاویه به راست رأس G )G امتداد قبلی امتداد بعدی به عبارتی میتوان نوشت: G (G α ) ± 180 G D (G α ) ± 180 G DE (G D α D ) ± 180 G E (G DE α E ) ± 180 نکتهای که باید به آن توجه داشت این است که زاویه رئوس α در این رابطه زاویه به راست درنظر گرفته شدهاند و چنانچه زاویههای پیمایش زاویه به راست نباشند در این رابطه منفی میشوند. به عبارتی رابطه باال به صورت زیر تبدیل میشود: G امتداد بعدی )G امتداد قبلی ± 180 )زاویه به راست رأس در این مثال مطابق شکل زیر جهت حرکت و محاسبات پیمایش در جهت خالف حرکت عقربه های ساعت است بنابراین زوایای داخلی قرائت شده برای پیمایش زاویه به راست نیستند. در نتیجه زوایا در رابطه ژیزمان منفی در نظر گرفته می شوند. پس از محاسبه ژیزمان ها با استفاده از رابطه زیر X و Y اضالع را محاسبه می کنیم: 84

31 Xi = Li SinGi Yi = Li osgi ژیزمان ضلع i ام: G i طول ضلع i ام: L i روش حل: ب( مرحلۀ محاسبه X و Y کلیۀ اضالع پیمایش: G ( ) G D ( ) G DE ( ) G E ( ) نکته: برای اطمینان از درستی محاسبات ژیزمان را مجددا محاسبه کرده و با مقدار معلوم آن مقایسه می کنیم: G G E α ± 180 G همانطور که مشاهده می کنید همان مقدار برای ژیزمان به دست آمد که خود نشان دهنده درستی محاسبات ژیزمان می باشد. در اینجا ستون های دوم و سوم جدول پیمایش مطابق شکل زیر تکمیل می شوند: ژیزمان زاویۀ تعدیل شده نقاط ایستگاه D E جمع Σa i = حال با استفاده از طولهای اضالع و ژیزمان محاسبه شده برای هر ضلع میتوان X وY 85

32 اضالع را به دست آورد: X = Sin = Y = os = X = Sin = Y os = = XD = Sin = Y os D = = XE = Sin = Y os E = =+ XDE = Sin = Y os DE = = در اینجا ستون های پنجم و ششم جدول پیمایش مطابق شکل زیر تکمیل می شوند: طول ژیزمان زاویۀ تعدیل شده نقاط ایستگاه X Y D E = 540 i Σa جمع 86

33 ج( مرحلۀ تعدیل و سرشکنی خطای بست طولی: همانطور که مشاهده کردید خطای زاویه ای موجود در پیمایش چنانچه در حد مجاز باشد بین رأس های پیمایش تعدیل می شود ولی این بدین معنی نیست که این خطا حذف می شود بلکه سرشکنی این خطا فقط به رابطه هندسی حاکم بر شکل تحقق بخشیده است. به عبارتی این خطا هنوز در پیمایش وجود دارد. همچنین طول های اندازه گیری شده در پیمایش نیز مانند زوایای اندازه گیری شده دارای مقادیری خطا می باشند که در محاسبه X وY خطایی ایجاد می کنند که به آن خطای بست موضعی)خطای بست طولی( می گویند. از آنجا که پیمایش به صورت یک چند ضلعی بسته است یعنی از یک نقطه شروع شده و به همان نقطه ختم می گردد پس باید جمع جبری اختالف مختصات نقاط متوالی پیمایش یعنی مقادیر x و y مساوی صفر شوند. اما به دلیل آنکه طول ها و زوایا دارای مقادیری خطا هستند که این خود خطایی در محاسبه X وY ایجاد می کند در نتیجه این شرط برقرار نمی شود. بنابراین x و y بیانگر مقادیر خطا در جهت محور x و y می باشند. به عبارتی نشان می دهند که نقاط پیمایش چه مقدار در اثر خطای طول و زاویه جا به جا شده اند. بنابراین خطای بست موضعی در پیمایش بسته پلیگون از رابطه زیر به دست می آید: 2 2 X,Y = Σ i + Σ i e ( X Y ) شکل زیر که در آن خطاهای طول و زاویه با اغراق ترسیم شده اند به وضوح مطالب گفته شده در باال را نشان می دهد: 87

34 همانطور که در شکل صفحه قبل مشاهده می کنید به دلیل وجود خطاهای موجود در پیمایش نقطه و بر هم منطبق نمی شوند به ضلع ضلع خطا می گویند و طول آنکه از رابطه باال به دست می آید همان خطای بست موضعی پیمایش می باشد. از تقسیم طول ضلع خطا )خطای بست طولی( بر مجموع اضالع پیمایش خطای نسبی بست )دقت پیمایش( به دست می آید که خود معیاری است برای ارزیابی دقت کار و مجاز بودن خطای بست. در اکثر کارهای عمرانی خطای نسبی بست طولی 1/5000 یا کمتر خطای قابل قبول تلقی می شود. در صورتی که این مقدار در حد مجاز باشد می توان آن را سرشکن کرد. e s e = Σ L X,Y i روش های مختلفی برای تعدیل خطای بست طولی وجود دارد که در این کتاب یکی از آنها را شرح می دهیم. این روش که به روش قطب نما )compass( معروف است خطای بست را به نسبت طول اضالع پیمایش بین اضالع سرشکن می کند. به عبارتی در این روش فرض بر آن است که تأثیر خطاهای اندازه گیری زاویه و طول با هم برابرند. امروزه وسایل دقیق اندازه گیری طول به تحقق این فرض کمک کرده است. تعدیل برای هر ضلع در دو جهت X وY اعمال می شود و مقدارآن از رابطه زیر به دست می آید: x Li = Σ X Σ L L Σ L i Y = Σ Y مجموع طولهای پیمایش بسته: ΣL که با مقادیر X و Y جمع شده و مقادیرتعدیل شده آنها بهدست میآیند: X تصحیح شده = X تصحیح نشده X 88 Y تصحیح شده = Y تصحیح نشده Y و در پایان X و Y را به راحتی می توان از روی این مقادیر به دست آورد.

35 روش حل: ج) مرحله تعدیل و سرشکنی خطای بست طولی: طول ژیزمان زاویۀ تعدیل شده نقاط ایستگاه X Y D E جمع Σa i = Σ X = Σ Y = Σ X = ( ) + ( ) + ( ) Σ X = Σ Y = ( ) ( ) + ( ) +( ) Σ Y = e X,Y = ( 0.158) + ( 0.579) = m = 60.02cm es = همانطور که مشاهده می کنید خطای نسبی )دقت( این پیمایش 1:6230 است که دقت باالیی محسوب می شود. حال مقدار تصحیح X وY را برای هر ضلع پیمایش را به صورت زیر محاسبه می کنیم: X = = 0.029m Y = = 0.107m X = = 0.026m Y = = 0.096m

36 XD = = 0.029m YD = = 0.105m XDE = = 0.041m YDE = = 0.150m XE = = 0.033m YE = = 0.121m زاویۀ تعدیل شده نقاط ایستگاه D E جمع Σa i = 540 ژیزمان G i طول L i X Σ = Y Σ = x Σ = Y Σ = ها Y را با هم جمع کنید باید به ترتیب با مقدار X و ها X و نکته: برای کنترل محاسبات اگر Y برابر شود. Y را با مقادیر X وY جمع جبری می کنیم تا ستون های نهم و X و اکنون مقادیر تصحیح Y تکمیل شوند: X و دهم یعنی X = = Y = =

37 X = = Y = = X D = = Y D = = X DE = = Y DE = = X E = = Y E = = طول ژیزمان زاویه تعدیل شده نقاط ایستگاه D E جمع Σa i = 540 G i L i X Σ = Y Σ = x Σ = Y Σ = Y را جمع ببندید حاصل برابر صفر می گردد. X و نکته: برای کنترل محاسبات چنانچه ستون های Y مختصات سایر نقاط را X و در پایان با معلوم بودن مختصات نقطه اول )( و ستون های محاسبه کرده و ستون های یازدهم و دوازدهم جدول را تکمیل می کنیم: X Σ = 0 Y Σ = 0 91 X = X + X = = Y = Y + Y = = X = X + X = = Y = Y + Y = = XD = X + X D = = YD = Y + Y D = = XE = XD + X DE = = YE = YD + Y DE = =

38 92 Y X Y X Y x Y X لوط L i نامزیژ Gi لیدعت ۀیواز هدش طاقن هاگتسیا D E عمج

39 تمرین های كالسی مثال در یک پیمایش بسته )چهار ضلعی( زوایا تصحیح شده و طولها طبق جدول ذیل اندازهگیری شده است. با توجه به این که زوایا با دستگاه تئودلیتی با مقدار خطای زاویهای اندازهگیری شده dα و ژیزمان امتداد برابر و مختصات نقطه برابر )500 و 500 ( متر باشد مطلوب است: الف( محاسبه و کنترل خطای بست پیمایش. ب( تکمیل جدول پیمایش. طول ژیزمان زوایای تعدیل شده ایستگاه D /86 92/51 128/17 1 8/55 2 یک عملیات پیمایش بسته مطابق شکل زیر انجام شده است. درصورتی که نقطه به مختصات )1000 و 1000( متر و ژیزمان برابر 45 درجه باشد مطلوب است تنظیم جدول پیمایش و محاسبه سایر ایستگاه ها D m 50 m D m D 100 m 93

40 3 در یک عملیات پیمایش بسته پس از انجام محاسبات جدول پیمایش مقادیر X ها و Y ها برابر زیر شده است: X , X , X , X Y , Y , Y , Y مطلوب است: الف(محاسبه خطای بست موضعی پیمایش ب( در صورت قابل قبول بودن خطای بست موضعی پیمایش مقادیر تصحیح X ها و Y ها را محاسبه کنید. 4 در یک پیمایش بسته به طول 445/277 متر مقادیر X وY ها بهترتیب زیر میباشد: X D 104/36 X D و 62/44 X و 115/34 X و 51/49 Y D 46/33 Y D 94/45 Y 34/66 Y 82/72 مطلوب است: الف( محاسبه خطای بست موضعی پیمایش ب( دقت پیمایش )خطای نسبی( را محاسبه کنید آیا مجاز به سرشکنی خطای بست موضعی پیمایش میباشیم 5 در پیمایش باز داده شده زیر اگر مختصات نقطه برابر ( ), متر باشد باتوجه به طولها و زوایای برداشت شده مختصات نقاط D را در جدول پیمایش تنظیم و محاسبه نمایید. G 200 L m L m L D m N D 94

41 6 در پیمایش بسته DE زوایای داخلی هر رأس را محاسبه و پس از کنترل زوایا خطای بست موضعی پیمایش و دقت پیمایش را محاسبه کنید. امتداد فاصله ژیزمان D DE E جدول داده شده مختصات رئوس پیمایش یک پنج ضلعی بسته میباشد. این پلیگون بسته 1 را با مقیاس 1000 ترسیم نمایید. نقاط P D E X Y جدول داده شده مختصات رئوس یک پیمایش چهارضلعی بسته را نشان می دهد 1 در صورتیکه مبدأ مختصات )930 و ) 980 متر باشد پیمایش را با مقیاس 2000 ترسیم نمایید. نقاط D X(m) / /6 Y(m) / /3 96 /45 95

42 X Y 9 زاویه های داخلی یک پیمایش هفت ضلعی بسته را با دوربینی با دقت زاویه ای 15 ثانیه اندازه گیری نموده ایم و جمع زاویه های اندازه گیری شده به دست آمده است. اگر هر زاویه را 3 مرتبه اندازه گیری نموده باشیم مطلوب است: الف( آیا خطای زاویه ای پیمایش در حد مجاز می باشد ب( مقدار تصحیح برای هر زاویه را محاسبه کنید. 10 مشاهدات یک پیمایش بسته با کروکی زیر به صورت جدول زیر می باشد مطلوب است: الف( محاسبه خطای بست موضعی و خطای نسبی پیمایش ب( محاسبه مختصات تصحیح شده نقاط ج( رسم پلیگون با مقیاس X Y x Y ژیزمان)درجه( زاویه های تعدیل شده )داخلی( طول (m) نقاط D 4 /59 31/ / m 1 m N D 96

43 11 زوایای یک سه ضلعی به وسیله زاویه یاب به روش کوپل طبق جدول زیر برداشت شده است مطلوب است: الف( محاسبه مقدار زوایای سه ضلعی ب( اگر دقت زاویه ای 1 da دقیقه گرادی باشد خطای بست زاویه ای را محاسبه کنید. ج( در صورت قابل قبول بودن خطای زاویه ای آن را سرشکن و زوایای تصحیح شده رامحاسبه نمایید. ایستگاه S نقاط P زاویه تصحیح شده مقدار تصحیح مقدار زاویه α میانگین دایره به راست R دایره به چپ L